La théorie du chaos

Sommaire Couverture Titre Copyright Sommaire Les Grandes Voix de la RechercheIntroduction Le déterminisme Poincaré Les mathématiques de l'à peu près L'effet papillon Le futur imprévisible La stabilité statistique L'attracteur étrange Conclusion L'auteur Dans la même collection Pagination de l'édition papier 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 17 18 19 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 53 54 55 56 57 59 61GuideCouvertureLa théorie du chaosDébut du contenuSommaire Couverture Paul Cox © CNRS Éditions/De Vive Voix coll. « Les Grandes Voix de la Recherche »Paris, 2023 ISBN : 978-2-271-14669-4 www.cnrseditions.fr Ce document numérique a été réalisé par PCA Les Grandes Voix de la Recherche Une collection CNRS Éditions / De Vive Voix Initialement conçue pour donner la parole aux lauréats et lauréates de la médaille d’or du CNRS, cette collection accueille désormais toutes les grandes voix de la recherche. En des textes courts et vivants, ces chercheuses et chercheurs retracent leur parcours, nous présentent leurs travaux, nous transmettent leur passion. Passeurs et médiateurs, ils et elles explorent tous les domaines de la connaissance, nous introduisent au meilleur de la recherche française ainsi qu’aux grands défis de la science. À écouter ou à lire, ces textes sont disponibles sous forme de livre audio et de livre papier. © Cyril FRÉSILLON / CNRS Photothèque Introduction Il est bien rare qu’un concept ou une idée mathématique passe dans le grand public. Il y a cependant quelques exemples, comme la théorie des catastrophes popularisée par René Thom dans les années 70, ou les jolies images fractales apparues dans les années 80-90, imaginées par Benoît Mandelbrot. Un autre concept, largement entré dans la culture générale, mais qui est souvent très mal compris, est le fameux « effet papillon », symbole de la « théorie du chaos ». Il est généralement présenté comme ceci : « un petit effet peut engendrer de grandes conséquences », ou « on ne peut pas prévoir l’avenir », ou encore « notre futur est sensible aux conditions initiales », etc. En consultant internet, on trouve un grand nombre de pages sur ce sujet, parfois surprenantes. Un film et des morceaux de musique1 s’appellent « L’effet papillon ». J’ai même vu un site consacré à son application au marxisme2. On trouve un peu tout et n’importe quoi sur cet « effet papillon ». Retracer les grandes étapes du développement de la théorie du chaos permettra d’y voir plus clair. Comment cette théorie s’est-elle développée au fil des siècles, et quels sont les enjeux mathématiques autour de cette théorie ? Tel est l’objet du présent livre. 1. https://chaosproject.bandcamp.com/album/the-butterfly-effect 2. Michael Brand, Complexity and dialectical materialism https://www.marxists.org/reference/archive/hegel/txt/complexi.htm Le déterminisme Comme souvent en sciences, on peut commencer l’histoire avec Galilée et Newton. Ces deux génies ont explicité l’une des plus grandes idées scientifiques : le déterminisme1. Si je sais où se trouve un objet maintenant, je suis en principe capable de savoir où il sera dans une heure, si je connais les forces auxquelles il est soumis. Beaucoup de philosophes doutent encore de cette idée incroyable : pourquoi le présent déterminerait-il l’avenir ? La prédiction est pourtant bien au cœur de la science. L’astronome prévoit par exemple les positions des planètes à n’importe quel instant du futur ; pendant longtemps, les marées océaniques paraissaient mystérieuses, mais aujourd’hui nous sommes capables de les prédire avec précision des années à l’avance ; la géophysique ne peut pas prévoir les tremblements de Terre ou les tsunamis, mais il y a eu des progrès considérables et peut-être pourrons-nous le faire un jour ? Galilée d’abord, a été l’un des premiers à comprendre ce concept. Selon la légende, il serait monté en haut de la tour de Pise avec des boulets de canon, les aurait lâchés et aurait calculé à l’avance le moment où ils toucheraient le sol. Isaac Newton, ensuite, en cette année 1666, son annus mirabilis, comme diront les historiens. Il découvrait que, contrairement à ce que pensaient les Anciens, les forces qui animent le monde sont universelles, partout de même nature, que ce soit lors du mouvement de la Lune ou de la chute d’une pomme. Mais aussi, il inventait un outil mathématique merveilleux – le calcul différentiel, qu’il appelait le calcul des fluxions – qui permet de prévoir les mouvements. Prévoir l’avenir... Isaac Newton mettra vingt ans pour rédiger son chef d’œuvre, les Principes mathématiques de philosophie naturelle2, les Principes mathématiques de physique, dirait-on aujourd’hui. Il craint que son principal rival Leibniz ne revendique également cette découverte du calcul différentiel, ce qui d’ailleurs serait justifié. Il lui écrit une lettre le 26 octobre 1676 dans laquelle il cache son secret sous forme codée3 : « 6a, 2c, d, ae, 13e, 2f, 7i, 3l, 9n, 4o, 4q, 2r, 4s, 8t, 12v, x » Leibniz n’a pas décodé ce message mais les historiens des sciences, probablement aidés par des cruciverbistes latinistes, ont fini par décrypter la phrase latine qui se cachait dans l’anagramme : « Data aequatione quotcunque fluentes… ». Je vous fais grâce de la suite. En français, cela veut dire : « Étant donné une équation mettant en jeu des variables, trouver ses dérivées, et vice-versa ». Le calcul différentiel et intégral est une boule de cristal incroyablement efficace pour prédire l’avenir : il permet de calculer le mouvement futur d’un système en connaissant sa situation présente et les forces qui lui sont appliquées. On dit que l’on résout une équation différentielle ou que l’on trouve ses solutions. Newton a ainsi été le premier à pouvoir prédire la position des planètes, et à comprendre, par le calcul, pourquoi, comment et à quelle vitesse les planètes tournent autour du Soleil... là où Kepler n’avait fait qu’observer ce mouvement (ce qui était bien sûr remarquable et préparait le travail de Newton). Tout cela a déclenché, dans le monde scientifique, deux siècles durant, une avalanche de résolutions